Toán Hình học lớp 7 là một phần quan trọng trong chương trình Trung học Cơ sở, bao gồm nhiều định lý và công thức giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa các hình dạng và cách tính toán liên quan. Bài viết này sẽ tổng hợp kiến thức Toán hình học lớp 7 học kỳ 2 giúp các em dễ dàng ghi nhớ và học tập hiệu quả.
I. Tổng quan về Toán hình học lớp 7 học kỳ 2:
Trong học kỳ 2 lớp 7, chúng ta sẽ khám phá những kiến thức thú vị về hình học, bao gồm:
- Hình tam giác: Các loại tam giác, tính chất và định lý liên quan.
- Đường thẳng và góc: Quan hệ giữa các đường thẳng, góc,… trong tam giác.
- Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác: Đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao.
II. Tổng hợp kiến thức Toán hình học lớp 7 học kỳ 2:
1. Tổng số đo ba góc của một tam giác:
Định lí: Tổng số đo của ba góc của một tam giác bằng 180°. Ví dụ: Cho tam giác ABC. Khi đó ta có: $ widehat{A}+widehat{B}+widehat{C}=180^{o} $
Các loại tam giác: - Tam giác có 3 góc nhọn được gọi là tam giác nhọn. Ví dụ: Cho tam giác ABC có $ widehat{A} $ = 45°; $ widehat{B} $ = 75°; $ widehat{C} $ = 60° là các góc nhọn nên tam giác ABC là tam giác nhọn.
- Tam giác có một góc vuông được gọi là tam giác vuông, cạnh đối diện góc vuông gọi là cạnh huyền, hai cạnh còn lại gọi là hai cạnh góc vuông.
Ví dụ: Tam giác DEF có $ widehat{E} $ = 90° suy ra tam giác DEF là tam giác vuông. Trong đó cạnh DF là cạnh huyền; ED và EF là hai cạnh góc vuông.
- Tam giác có một góc tù được gọi là tam giác tù.
Ví dụ: Tam giác PQK có $ widehat{E} $ = 120° là một góc tù nên suy ra tam giác PQK là một tam giác tù.
Bài tập điển hình: Tính tổng số đo của các góc x và y trong hình sau:
Hướng dẫn giải: Xét tam giác ABC, theo định lí tổng các góc trong tam giác ta có: $ widehat{A}+widehat{B}+widehat{C} $= 180° Suy ra $ widehat{B} $ = 180° - $ widehat{A} $ - $ widehat{C} $ = 180° − 90° − 45° = 45° = y Tương tự xét tam giác AKC, theo định lí tổng các góc trong tam giác ta có: $ widehat{A}+widehat{B}+widehat{C} $= 180° Suy ra $ widehat{A} = 180° - widehat{K} - widehat{C} $ = 180° − 90° − 45° = 45° = x Vậy x + y = 45° + 45° = 90°.
2. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác:
Định lí: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn hai cạnh còn lại.
Ví dụ 1: Cho tam giác MNQ
Ta luôn có:
MN + MQ > NQ;
MN + NQ > MQ;
MQ + NQ > MN.
Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng độ dài của hai cạnh còn lại.
Ví dụ 2: Cho tam giác EFG.
Với cạnh EF ta có: EG - FG < EF < EG + FG hay FG - EG < EF < EG + FG.
Lưu ý: Khi xét độ dài ba đoạn thẳng có thỏa mãn các bất đẳng thức tam giác hay không, ta chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng của hai độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu của hai độ dài còn lại.
Ví dụ 3: a) Cho bộ ba độ dài đoạn thẳng là: 3 cm; 4 cm; 5 cm. Ta thấy 3 + 4 = 7 > 5. Suy ra bộ ba độ dài đoạn thẳng này là độ dài ba cạnh của một tam giác. b) Cho bộ ba độ dài đoạn thẳng là: 3 cm; 4 cm; 10 cm Ta thấy 3 + 4 = 7 < 10. Suy ra bộ ba độ dài đoạn thẳng này không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài tập điển hình: Cho tam giác HIK có HK = 4 cm, HI = 1 cm. Tìm độ dài của cạnh IK, biết rằng độ dài này là một số nguyên. Hướng dẫn giải: Dựa vào quan hệ của các cạnh trong một tam giác ta có: HK - HI < IK < HK + HI Suy ra 4 - 1 < IK < 4 + 1 3 < IK < 5 Vì độ dài IK là một số nguyên nên suy ra IK = 4 cm.
3. Tam giác bằng nhau:
Định nghĩa: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.
Ví dụ: Cho hai tam giác ABC và FDE là hai tam giác bằng nhau.
Kí hiệu là ∆ABC = ∆FDE. Khi đó ta có: AB = FD; BC = DE; AC = FE; $ widehat{A} $ = $ widehat{F} $; $ widehat{B} $ = $ widehat{D} $; $ widehat{C} $ = $ widehat{E} $
Bài tập điển hình: Quan sát hình sau và điền vào chỗ trống:
a) ∆ACE = …… b) ∆EAC = …… c) ∆CAE = ……. Hướng dẫn giải: Theo hình vẽ trên ta có: AC = BC; CD = CE; AE = BD. Do đó: ∆ACE = ∆BCD (c.c.c). ∆EAC = ∆DBC (c.c.c). ∆CAE = ∆CBD (c.c.c). Vậy ta điền vào như sau: a) ∆ACE = ∆BCD. b) ∆EAC = ∆DBC. c) ∆CAE = ∆CBD.
4. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác:
- Trường hợp bằng nhau thứ nhất: cạnh - cạnh - cạnh (c.c.c): Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình sau:
Xét ∆ABC và ∆CDA có:
AB = CD (gt);
Cạnh AC chung;
BC = AD (gt).
Do đó: ∆ABC = ∆CDA (c.c.c).
- Trường hợp bằng nhau thứ hai: cạnh - góc - cạnh (c.g.c): Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
Ví dụ: Xét hai tam giác sau:
Xét ∆ABC và ∆FDE ta có: AB = FD (gt); A = F (gt); AC = FE (gt). Do đó ∆ABC = ∆FDE (c.g.c).
- Trường hợp bằng nhau thứ ba: góc - cạnh - góc (g.c.g): Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. Ví dụ: Cho hình sau:
Xét ∆MNP và ∆PQM ta có: $ widehat{NMP} $ = $ widehat{QPM} $ (gt); Cạnh MP chung; $ widehat{NPM} $= $ widehat{QMP} $ (gt); Do đó ∆MNP = ∆PQM (g.c.g).
Bài tập điển hình: Cho ∆FCG = ∆MNQ và $ widehat{G} $ = 30°, CG = 4 cm, MN = 3 cm. Tính số đo Q và độ dài NQ, FC. Hướng dẫn giải: Theo đề bài ta có ∆FCG = ∆MNQ. Suy ra ta có: $ widehat{G} $ = $ widehat{Q} $ = 30°; CG = NQ = 4 cm; FC = MN = 3 cm. Vậy $ widehat{Q} $ = 30°; NQ = 4 cm; MN = 3 cm.
5. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông:
- Trường hợp hai cạnh góc vuông: Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp c.g.c). Ví dụ: Cho hình vẽ:
Xét ∆ABC và ∆EDF ta có:
AC = EF (gt);
$ widehat{A} $ = $ widehat{E} $ = 90°;
AB = DE (gt);
Do đó ∆ABC = ∆EDF (c.g.c)
- Trường hợp một cạnh góc vuông và một góc nhọn: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (theo trường hợp g.c.g). Ví dụ: Cho hình sau:
- Trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông: Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Ví dụ: Cho hình vẽ:
Xét ∆ABC và ∆DBC đều vuông tại B có:
AC = DC (gt);
Cạnh BC chung.
Do đó ∆ABC = ∆DBC (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Bài tập điển hình: Cho tam giác ABC vuông tại A và tam giác PMN vuông tại P có AB = PM, AC = PN. Biết $ widehat{B} $ = 60°. Tính số đo góc N.
Hướng dẫn giải: Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác PMN vuông tại P có: AB = PM và AC = PN Do đó: ΔABC= ΔPMN (hai cạnh góc vuông)
Suy ra hai góc tương ứng bằng nhau: $ widehat{B} $ = $ widehat{M} $ = 60° Xét tam giác PMN vuông tại P có: $ widehat{P} $ + $ widehat{M} $ + $ widehat{N} $ = 180° (tổng 3 góc trong tam giác) Ta có: 90° + 60° + $ widehat{N} $ = 180° Suy ra: $ widehat{N} $ = 30°
6. Tam giác cân:
Định nghĩa: Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau. Định lý 1: Trong một tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau. Định lý 2: Nếu một tam giác có hai góc bằng nhau thì tam giác đó là tam giác cân. Ví dụ: Cho ∆ABC có AB = AC.
Khi đó ∆ABC là tam giác cân tại A.
$ widehat{B} $ và $ widehat{C} $ là hai góc ở đáy nên: $ widehat{B} $ = $ widehat{C} $ và ngược lại.
Chú ý: - Tam giác (cân) có 3 cạnh bằng nhau là tam giác đều. - Tam giác cân có một góc 60° là tam giác đều. - Tam giác vuông cân là tam giác có 1 góc vuông và 2 cạnh bằng nhau. - Tam giác cân có một góc ở đáy bằng 45° là tam giác vuông cân. Bài tập điển hình: Cho hình vẽ như bên dưới. Chứng minh ∆DBC là tam giác cân.
Hướng dẫn giải: Xét ∆ADB và ∆ADC có: AB = AC (gt); $ widehat{ABD} $ = $ widehat{ACD} $ (gt); Cạnh AD chung. Do đó ∆ADB = ∆ADC (c.g.c). Suy ra BD = CD (hai cạnh tương ứng). Xét ∆DBC có BD = CD suy ra ∆DBC cân tại D.
7. Quan hệ giữa cạnh và góc trong một tam giác:
Trong một tam giác, đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn và ngược lại, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn. Ví dụ: Cho hình vẽ:
∆ABC có: CA > AB suy ra $ widehat{B} $ > $ widehat{C} $
∆DGE có: $ widehat{D} $ > $ widehat{E} $ suy ra GE > GD.
Bài tập điển hình: So sánh các cạnh của tam giác ABC, biết $ widehat{A} $ = 90°; $ widehat{B} $ = 30° . Hướng dẫn giải: Xét ∆ABC có: $ widehat{A}+widehat{B}+widehat{C} $= 180° $ widehat{C} $= 180° - $ widehat{A} $ - $ widehat{B} $ = 180° - 90° - 30° Mặt khác ta có đối diện với các góc A, B, C lần lượt là các cạnh BC, AC, AB. Mà $ widehat{A} $ > $ widehat{C} $ > $ widehat{B} $ suy ra BC > AB > AC Vậy BC > AB > AC.
8. Mối quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:
Trong số các đường thẳng nối từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến các điểm trên đường thẳng đó, đường vuông góc luôn ngắn hơn tất cả các đường xiên. Ví dụ: Xét hình sau:
Ta thấy:
- Đoạn thẳng AD là đoạn vuông góc của đường thẳng BC.
- Các đoạn thẳng AB, AE, AC là các đường xiên của đường thẳng BC.
Do đó AB > AD; AE > AD; AC > AD.
Bài tập điển hình: Tìm đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng GD, GE, GA của hình vẽ sau:
Hướng dẫn giải: Ta thấy GD là đường vuông góc, GE, GA là các đường xiên kẻ từ G. Suy ra GD là đoạn thẳng ngắn nhất trong các đoạn thẳng GD, GE, GA.
9. Đường trung trực của một đoạn thẳng:
Khái niệm: Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng tại trung điểm của đó. Định lí 1: Điểm nằm trên trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Định lí 2: Điểm cách đều hai mút của đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Với điểm C ∈ d thì ta suy ra được CA = CB. Hoặc với CA = CB suy ra điểm C thuộc đường thẳng d. Bài tập điển hình: Cho C, D là hai điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB. CD giao AB tại E. Chứng minh hai tam giác CAD và CBD bằng nhau.
Hướng dẫn giải:
Hai điểm C, D nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên lần lượt cách đều hai đầu mút A và B.
Suy ra CA = CB và DA = DB
Xét hai tam giác CAD và CBD có
CA = CB (cmt)
DA = DB (cmt)
CD: cạnh chung
Suy ra ∆CAD = ∆CBD (c.c.c).
10. Đường trung trực của tam giác:
Khái niệm: Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó. Định lí: Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác đó. Ví dụ:Trong hình dưới đây, ba đường thẳng d, e, f lần lượt vuông góc với ba đoạn thẳng AB, BC, CA tại cái trung điểm D, E, F. Nên suy ra ba đường thẳng d, e, f là ba đường trung trực của đoạn thẳng AB, BC và CA. Vậy d, e, f là ba đường trung trực của tam giác ABC.
Bài tập điển hình: Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. Tính số đo $ widehat{OMB} $
Hướng dẫn giải: Vì OF là trung trực nên OA = OB. Vì OE là trung trực nên OA = OC. Suy ra OA = OB = OC Vậy ΔOBC cân tại O mà M là trung điểm BC Suy ra OM là đường trung trực của ΔOBC Suy ra OM ⊥ BC ⇒ $ widehat{OMB} $ = 90°
11. Đường trung tuyến của tam giác:
Khái niệm: Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện. Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $ frac{2}{3} $ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có: $ frac{AG}{AD}= frac{BG}{BE}= frac{CG}{CF}= frac{2}{3} $
Bài tập điển hình: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Tìm x biết BG = 3x, GM = x + 1.
Hướng dẫn giải: Ta có: BM = BG + GM Suy ra: 9 = 3x + (x + 1) Hay 4x + 1 = 9 Tương đương với 4x = 9 - 1 = 8 Vậy suy ra: x = 8 : 4 = 2.
12. Đường cao của tam giác:
Khái niệm: Đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh của một tam giác đến đường thẳng chưa cạnh đối diện gọi là đường cao của tam giác đó. Định lí: Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cùng đi qua điểm H. Điểm H được gọi là trực tâm của tam giác ABC.
Bài tập điển hình: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM và đường cao BK. Gọi H là giao điểm của AM và BK. Chứng minh rằng CH vuông góc với AB.
Hướng dẫn giải: Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao của ABC. Ta có H là giao điểm của hai đường cao AM và BK nên H là trực tâm của tam giác ABC Suy ra CH là đường cao của tam giác ABC Vậy CH vuông góc với AB.
13. Đường phân giác của tam giác:
Khái niệm: Cho tam giác ABC, tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại M. Khi đó đoạn thẳng BM được gọi là đường phân giác góc B của tam giác ABC. Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác. Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây có các đường phân giác góc A, B, C cùng đi qua điểm I. Và điểm I cách đều ba cạnh AB, AC, BC suy ra IP = IF = IE.
Bài tập điển hình: Tìm số đo x trong hình vẽ dưới đây.
Hướng dẫn giải: Ta có điểm I là giao điểm của hai phân giác góc B và C của tam giác BAC, suy ra AI cũng là phân giác góc A. Vậy ta có: $ widehat{BAD}= widehat{DAC} $ Hay x = 30°.
III. Kết luận:
Hy vọng rằng với những kiến thức hình học lớp 7 học kỳ 2 được tổng hợp trong bài viết này, các em sẽ có một nền tảng vững chắc để áp dụng vào bài tập và bài kiểm tra một cách dễ dàng. Toán học không chỉ đòi hỏi sự hiểu biết về lý thuyết mà còn cần rèn luyện kỹ năng giải bài tập để thành thạo hơn.
Nếu các em cần củng cố thêm kiến thức về Đại số để học tốt toàn diện môn Toán lớp 7, đừng quên tham khảo bài viết “Công thức toán lớp 7 về Đại số” để hệ thống lại các kiến thức quan trọng.
Mathnasium luôn sẵn sàng đồng hành cùng các em trên hành trình chinh phục Toán học! Liên hệ ngay để được tư vấn chi tiết và trải nghiệm phương pháp học tập hiệu quả, giúp các em tự tin nắm vững kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập.