Bài 1 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng:
A. (left( {0;pi } right))
B. (left( { - frac{{3pi }}{2}; - frac{pi }{2}} right))
C. (left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right))
D. (left( { - pi ;0} right))
Phương pháp:
Sử dụng khoảng biến thiên của hàm số y = sinx
Lời giải:
Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng: (left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right))
Chọn C
Bài 2 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( {pi ;2pi } right)) là:
A.(y = sin x)
B.(y = cos x)
C.(y = tan x)
D.(y = cot x)
Phương pháp:
Sử dụng khoảng biến thiên của các hàm số lượng giác
Lời giải:
Hàm số nghịch biến trên khoảng (left( {pi ;2pi } right)) là:(y = cos x)
Chọn B
Bài 3 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Nếu (tan left( {a + b} right) = 3,tan left( {a - b} right) = - 3) thì (tan 2a) bằng:
A.0
B.(frac{3}{5})
C.1
D.( - frac{3}{4})
Phương pháp:
Sử dụng công thức lương giác của tan.
Lời giải:
Ta có :
(begin{array}{l}tan left( {a + b} right) = 3 Rightarrow frac{{tana + tan b}}{{1 - tan a.tan b}} = 3 Rightarrow tana + tan b = 3(1 - tan a.tan b),,,,,,(1)tan left( {a - b} right) = - 3 Rightarrow frac{{tana - tan b}}{{1 + tan a.tan b}} = 3 Rightarrow tana - tan b = 3(1 + tan a.tan b),,,,,,(2)end{array})
Cộng theo vế của (1) và (2) ta có
(tan a = 3)
Ta có
(tan 2a = frac{{2tan a}}{{1 - {{tan }^2}a}} = frac{{2.3}}{{1 - {3^2}}} = frac{{ - 3}}{4})
Chọn D
Bài 4 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Nếu (cos a = frac{1}{4}) thì (cos 2a) bằng:
A.(frac{7}{8})
B.( - frac{7}{8})
C.(frac{{15}}{{16}})
D.( - frac{{15}}{{16}})
Phương pháp:
Sử dụng công thức nhân đôi
Lời giải:
Bài 5 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Nếu (cos a = frac{3}{5}) và (cos b = - frac{4}{5}) thì (cos left( {a + b} right)cos left( {a - b} right)) bằng:
A.0
B.2
C.4
D.5
Phương pháp:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
Lời giải:
Ta có :
(cos left( {a + b} right)cos left( {a - b} right) = frac{1}{2}left( {cos 2a + cos 2b} right) = frac{1}{2}left( {2{{cos }^2}a - 1 + 2{{cos }^2}b - 1} right) = 0)
Chọn A
Bài 6 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Nếu (sin a = - frac{{sqrt 2 }}{3}) thì (sin left( {a + frac{pi }{4}} right) + sin left( {a - frac{pi }{4}} right)) bằng
A.(frac{2}{3})
B.(frac{1}{3})
C.( - frac{2}{3})
D.( - frac{1}{3})
Phương pháp:
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích
Lời giải:
Bài 7 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn (left[ {0;10pi } right]) là
A.5
B.9
C.10
D.11
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cos
Lời giải:
Ta có
(begin{array}{l}cosx{rm{ }} = {rm{ }}0 Leftrightarrow cosx{rm{ }} = {rm{ cos}}frac{pi }{2} Leftrightarrow x{rm{ }} = {rm{ }}frac{pi }{2} + kpi ;k in Zend{array})
Mà (x in left[ {0;10pi } right]) nên
(begin{array}{l}0 le frac{pi }{2} + kpi le 10pi Rightarrow - 0,5 le k le 9,5end{array})
Lại có (k in Z) suy ra (k in left{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} right})
Vậy phương trình đã cho có số nghiệm là 10.
Chọn C
Bài 8 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn (left[ {0;10pi } right]) là:
A.10
B.6
C.5
D.11
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin
Lời giải:
Đáp án đúng là: D
Cách 1. Giải phương trình lượng giác
sinx = 0
⇔">⇔⇔ x = kπ (k ∈ ℤ)
Do x ∈ [0; 10π] nên ta có: 0 ≤ kπ ≤ 10π
⇔">⇔⇔ 0 ≤ k ≤ 10
Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …; 10}, khi đó ta tìm được 11 giá trị của x.
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Cách 2. Dùng đồ thị hàm số
Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y = sinx cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O, B, C, …, M trên đoạn [0; 10π].
Vậy phương trình sinx = 0 có 11 nghiệm trên đoạn [0; 10π].
Bài 9 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Phương trình (cot x = - 1) có nghiệm là:
A.( - frac{pi }{4} + kpi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))
B.(frac{pi }{4} + kpi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))
C.(frac{pi }{4} + k2pi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))
D.( - frac{pi }{4} + k2pi ,,left( {k in mathbb{Z}} right))
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của phương trình cot
Lời giải:
Ta có
(begin{array}{l}cot x{rm{ }} = {rm{ - 1}} Leftrightarrow cot x{rm{ }} = {rm{ cot - }}frac{pi }{4} Leftrightarrow x{rm{ }} = {rm{ - }}frac{pi }{4} + kpi ;k in Zend{array})
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là (x{rm{ }} = {rm{ - }}frac{pi }{4} + kpi ;k in Z)
Chọn A
Bài 10 trang 41 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Số nghiệm của phương trình (sin left( {x + frac{pi }{4}} right) = frac{{sqrt 2 }}{2}) trên đoạn (left[ {0;pi } right]) là:
A.4
B.1
C.2
D.3
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng quát của phương trình sin
Lời giải:
Đáp án đúng là: C
Cách 1. Giải phương trình lượng giác:
Ta có:
Bài 11 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Vẽ đồ thị hàm số (y = cos x) trên đoạn (left[ { - frac{{5pi }}{2};frac{{5pi }}{2}} right]) rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx + 2 = 0 trên đoạn đó.
Phương pháp:
Dựa vào vẽ đồ thị đã học để vẽ rồi xác định số nghiệm
Lời giải:
Vẽ đồ thị:
(3cos x + 2 = 0) trên đoạn (left[ { - frac{{5pi }}{2};frac{{5pi }}{2}} right]) có 4 nghiệm
Bài 12 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Giải các phương trình sau:
a) (sin left( {2x - frac{pi }{6}} right) = - frac{{sqrt 3 }}{2})
b) (cos left( {frac{{3x}}{2} + frac{pi }{4}} right) = frac{1}{2})
c) (sin 3x - cos 5x = 0)
d) ({cos ^2}x = frac{1}{4})
e) (sin x - sqrt 3 cos x = 0)
f) (sin x + cos x = 0)
Phương pháp:
Sử dụng các công thức nghiệm của phương trình lượng giác
Lời giải:
Bài 13 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (left( {0 le t < 24} right)) cho bởi công thức (h = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12). Tìm t để độ sâu của mực nước là
a) 15m
b) 9m
c) 10,5m
Phương pháp:
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình hàm số cos
Lời giải:
+) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15.
Khi đó
(begin{array}{l}15 = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12 Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = 1 Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = cos 0 Leftrightarrow frac{{pi t}}{6} + 1 = k2pi Leftrightarrow t = frac{{6left( {k2pi - 1} right)}}{pi };k in Zend{array})
Vì (0 le t < 24) nên
(begin{array}{l}0 le frac{{6left( {k2pi - 1} right)}}{pi } le 24 Leftrightarrow 0 < k le 2end{array})
Lại do (k in Z Rightarrow k in left{ {1;2} right} Rightarrow t in left{ {frac{{6left( {2pi - 1} right)}}{pi };frac{{6left( {4pi - 1} right)}}{pi }} right})
+) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9.
Khi đó
(begin{array}{l}9 = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12 Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = - 1 Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = cos pi Leftrightarrow frac{{pi t}}{6} + 1 = pi + k2pi Leftrightarrow t = frac{{6left( {k2pi + pi - 1} right)}}{pi };k in Zend{array})
Vì (0 le t < 24) nên
(begin{array}{l}0 le frac{{6left( {k2pi + pi - 1} right)}}{pi } le 24 Leftrightarrow 0 < k le 1end{array})
Lại do (k in Z Rightarrow k = 1 Rightarrow t = frac{{6left( {3pi - 1} right)}}{pi })
+) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5.
Khi đó
(begin{array}{l}10,5 = 3cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) + 12 Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = - frac{1}{2} Leftrightarrow cos left( {frac{{pi t}}{6} + 1} right) = cos frac{{2pi }}{3} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}frac{{pi t}}{6} + 1 = frac{{2pi }}{3} + k2pi frac{{pi t}}{6} + 1 = - frac{{2pi }}{3} + k2pi end{array} right. Leftrightarrow left[ begin{array}{l}t = frac{{6left( {frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi };k in Zt = frac{{6left( { - frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi };k in Zend{array} right.end{array})
Với (t = frac{{6left( {frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi };k in Z)
Vì (0 le t < 24) nên
(begin{array}{l}0 le frac{{6left( {frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi } le 24 Leftrightarrow 0 le k le 2end{array})
Lại do (k in Z Rightarrow k in left{ {0;1;2} right} Rightarrow t in left{ {frac{{6left( {frac{{2pi }}{3} - 1} right)}}{pi };frac{{6left( {frac{{8pi }}{3} - 1} right)}}{pi };frac{{6left( {frac{{14pi }}{3} - 1} right)}}{pi }} right})
Với (t = frac{{6left( { - frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi };k in Z)
Vì (0 le t < 24) nên
(begin{array}{l}0 le frac{{6left( { - frac{{2pi }}{3} + k2pi - 1} right)}}{pi } le 24 Leftrightarrow 0 < k le 2end{array})
Lại do (k in Z Rightarrow k in left{ {1;2} right} Rightarrow t in left{ {frac{{6left( { - frac{{2pi }}{3} - 1} right)}}{pi };frac{{6left( {frac{{4pi }}{3} - 1} right)}}{pi };frac{{6left( {frac{{10pi }}{3} - 1} right)}}{pi }} right})
Bài 14 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều
Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số (y = 4,8sin frac{x}{9}) và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 40.
a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1m.
c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3m
Lời giải:
Xét k = 0, ta có x1 = 0;
Xét k = 1, ta có x2 = 9π.
Mà x1 = 0 nên đây là hoành độ của O, do đó x2 = 9π là hoành độ của điểm A.
Khi đó OA = 9π ≈ 28,3.
Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.
Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.
Mà BC ≈ 20,642 - 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).
Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.
c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:
Sachbaitap.com
