Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập ôn tập cuối năm trang 110, 111, 112, 113 chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 7 Bài tập ôn tập cuối năm trang 110, 111, 112, 113
Số và đại số
Giải Toán 7 trang 110 Tập 2
Bài 1 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 25 + (22 . 3)2 . −142+ 20200 + −14;
b) 32−0,25.7,5−5,1−6,2+2.0,5+1,6.
Lời giải:
a) 25 + (22 . 3)2 . −142+ 20200 + −14;
= 5 + 4.3.−142 + 1 + 14
= 5 + (-3)2 + 1 + 14
= 5 + 9 + 1 + 14
= 15 + 14
= 604+14
= 614.
b) 32−0,25.7,5−5,1−6,2+2.0,5+1,6.
= 9−0,25.2,4−6,2+2.2,1
= 9−0,6−6,2+4,2
= 8,4−2
= -4,2.
Bài 2 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Tính một cách hợp lí.
a) 511−1019+1,5+1711−919;
b) 235.−23−213.−23+232
Lời giải:
a) 511−1019+1,5+1711−919;
= 511+1711+1,5−919−1019
= 511+1711+1,5−919+1019
= 2211+1,5−1919
= 2 + 1,5 - 1
= 2,5
b) 235.−23−213.−23+232
= 235.−23−213.−23+−232
= −23.235−213−23
= −23.2+35−2−13−23
= −23.2−2+35−13−23
= −23.35−1
= −23.−25
= 415.
Bài 3 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: a) Tìm x, biết 25x + 32 = 35−−14 .
b) Có hay không số x thỏa mãn điều kiện: x+15=−12−13 ?
c) Hãy ước tính (không tra bảng hay dùng máy tính) số dương x (lấy đến 1 chữ số sau dấu phẩy) sao cho x2 = 13. Sau đó dùng máy tính cầm tay (hoặc tra bảng) để tính x, chính xác đến hàng phần chục để kiểm tra xem con số em ước tính chênh lệch bao nhiêu so với kết quả tính bằng máy tính.
Lời giải:
a) 25x + 32 = 35−−14
25x + 32 = 35+14
25x = 35+14−32
25x = 1220+520−3020
25x = −1320
x = −1320:25
x = −1320.52
x = −138
Vậy x = −138 .
b) −12−13=−36−26=−16 < 0.
Ta có ≥ 0 với mọi giá trị của x nên x + 15 > 0 với mọi giá trị của x.
Do đó không tồn tại giá trị của x để x + 15 = −12−13 .
c) Ta thấy 32 = 9 < 13 < 16 = 42 và 13 - 12 (9 + 16) < 1 nên dự đoán x ≈ 12(3 + 4) = 3,5.
Sử dụng máy tính cầm tay, lấy chính xác đến hàng phần chục ta được 13 ≈ 3,6.
Con số ước tính chênh lệch 3,6 - 3,5 = 0,1 so với kết quả tính bằng máy tính.
Bài 4 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Hai người thợ cùng làm tổng cộng được 136 sản phẩm (thời gian làm như nhau). Hỏi mỗi người thợ làm được bao nhiêu sản phẩm, biết rằng người thợ thứ nhất làm một sản phẩm mất 9 phút, còn người thứ hai làm mất 8 phút?
Lời giải:
Gọi số sản phẩm làm được của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là x và y sản phẩm (x, y ∈ ℕ*).
Tỉ lệ thời gian làm được 1 sản phẩm của người thứ nhất và người thứ hai là 98 .
Thời gian làm và số sản phẩm làm được của hai người là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.
Do đó tỉ lệ số sản phẩm làm được của người thứ nhất và người thứ hai là 89 .
Khi đó xy=89 nên x8=y9.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x8=y9=x+y8+9=13617=8
Khi đó x = 8 . 8 = 64, y = 8 . 9 = 72.
Vậy số sản phẩm làm được của người thứ nhất và người thứ hai lần lượt là 64 sản phẩm và 72 sản phẩm.
Bài 5 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Ba khối 6, 7, 8 của một trường Trung học cơ sở tham gia quyên góp vở tặng các bạn vùng khó khăn. Biết rằng số vở quyên góp được của ba khối theo thứ tự tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 và số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển. Hỏi mỗi khối quyên góp được bao nhiêu quyển vở?
Lời giải:
Gọi số vở quyên góp được của ba khối 6, 7, 8 lần lượt là x, y, z quyển (x, y, z ∈ ℕ*).
Do số vở quyên góp được của ba khối tỉ lệ thuận với 8, 7, 6 nên x8=y7=z6 .
Do số vở khối 8 quyên góp được ít hơn số vở khối 6 quyên góp được là 80 quyển nên
x - z = 80.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x8=y7=z6=x−z8−6=802=40
Khi đó x = 8 . 40 = 320, y = 7 . 40 = 280, z = 6 . 40 = 240.
Vậy số vở quyên góp được của ba khối 6, 7, 8 lần lượt là 320 quyển, 280 quyển, 240 quyển.
Bài 6 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai đa thức A = 6x3 - 4x2 - 12x - 7 và B = 2x2 - 7.
a) Xác định hệ số cao nhất và hệ số tự do trong mỗi đa thức đã cho.
b) Tính giá trị của đa thức A + B tại x = -2.
c) Chứng minh rằng x = 0, x = -1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A - B.
d) Thực hiện phép nhân A . B bằng hai cách.
e) Tìm đa thức R có bậc nhỏ hơn 2 sao cho hiệu A - R chia hết cho B.
Lời giải:
a) +) Xét đa thức A = 6x3 - 4x2 - 12x - 7
Đa thức A có hạng tử có bậc cao nhất là 6x3 nên hệ số cao nhất là 6.
Hạng tử có bậc bằng 0 trong đa thức A là -7 nên hệ số tự do là -7.
+) Xét đa thức B = 2x2 - 7
Đa thức B có hạng tử có bậc cao nhất là 2x2 nên hệ số cao nhất là 2.
Hạng tử có bậc bằng 0 trong đa thức B là -7 nên hệ số tự do là -7.
b) A + B = 6x3 - 4x2 - 12x - 7 + 2x2 - 7
A + B = 6x3 + (-4x2 + 2x2) - 12x + (-7 - 7)
A + B = 6x3 - 2x2 - 12x - 14
Thay x = -2 vào đa thức A + B ta được:
A + B = 6 . (-2)3 - 2 . (-2)2 - 12 . (-2) - 14
A + B = 6 . (-8) - 2.4 - (-24) - 14
A + B = -48 - 8 + 24 - 14
A + B = -46
Vậy A + B = -46 tại x = -2.
c) A - B = (6x3 - 4x2 - 12x - 7) - (2x2 - 7)
A - B = 6x3 - 4x2 - 12x - 7 - 2x2 + 7
A - B = 6x3 + (-4x2 - 2x2) - 12x + (-7 + 7)
A - B = 6x3 - 6x2 - 12x
Tại x = 0 thì A - B = 6 . 03 - 6 . 02 - 12 . 0 = 0.
Tại x = -1 thì A - B = 6 . (-1)3 - 6 . (-1)2 - 12 . (-1) = -6 - 6 + 12 = 0.
Tại x = 2 thì A - B = 6.23 - 6.22 - 12.2 = 6.8 - 6.4 - 24 = 0.
Vậy x = 0, x = -1 và x = 2 là ba nghiệm của đa thức A - B.
d) Cách 1. Bỏ dấu ngoặc
A . B = (6x3 - 4x2 - 12x - 7) . (2x2 - 7)
A . B = [6x3 + (-4x2) + (-12x) + (-7)] . [2x2 + (-7)]
A . B = 6x3 . 2x2 + 6x3 . (-7) + (-4x2) . 2x2 + (-4x2) . (-7) + (-12x) . 2x2 + (-12x) . (-7) + (-7) . 2x2 + (-7) . (-7)
A . B = 12x5 + (-42 x3) + (-8 x4) + 28x2 + (-24x3) + 84x + (-14x2) + 49
A . B = 12x5 - 8x4 + (-42 x3 - 24x3) + (28x2 - 14x2) + 84x + 49
A . B = 12x5 - 8x4 - 66x3 + 14x2 + 84x + 49
Cách 2. Đặt phép tính
e) Đặt phép chia A cho B ta được:
Đa thức A chia cho đa thức B dư 9x - 21.
Do đó để A - R chia hết cho B và bậc của đơn thức R nhỏ hơn 2 thì đa thức R bằng
9x - 21.
Bài 7 trang 110 Toán lớp 7 Tập 2: Người ta đổ đầy nước vào một cái bể hình hộp chữ nhật, sau đó nhấn chìm một khối lập phương (đặc) có độ dài các cạnh bằng x (dm) vào trong bể. Biết rằng chiều rộng, chiều dài và chiều cao của bể lần lượt bằng x + 1, x + 3 và x + 2 (xem hình bên).
a) Tìm đa thức biểu thị thể tích nước còn lại trong bể.
b) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức trong câu a.
c) Sử dụng kết quả câu a để tính lượng nước còn lại trong bể (đơn vị: dm3) khi x = 7 dm.
Lời giải:
Do bể đầy nước nên khi thả khối lập phương vào thì lượng nước trào ra ngoài bằng thể tích của khối lập phương.
a) Thể tích của bể là: (x + 1)(x + 3)(x + 2) dm3.
Thể tích khối gỗ là: x3 dm3.
Thể tích nước còn lại trong bể là: (x + 1)(x + 3)(x + 2) - x3
= (x.x + x.3 + 1.x + 1.3)(x + 2) - x3
= (x2 + 4x + 3)(x + 2) - x3
= (x2.x + x2.2 + 4x.x + 4x.2 + 3.x + 3.2) - x3
= x3 + 2x2 + 4x2 + 8x + 3x + 6 - x3
= (x3 - x3) + (2x2 + 4x2) + (8x + 3x) + 6
= 6x2 + 11x + 6
Vậy thể tích nước còn lại trong bể bằng 6x2 + 11x + 6 dm3.
b) Đa thức 6x2 + 11x + 6 có hạng tử có bậc cao nhất là 6x2 nên bậc của đa thức đó bằng 2, hệ số cao nhất bằng 6.
Hạng tử có bậc bằng 0 trong đa thức đó bằng 6 nên hệ số tự do bằng 6.
c) Tại x = 7 dm, thể tích nước còn lại trong bể bằng:
6 . 72 + 11 . 6 + 6 = 6 . 49 + 66 + 6 = 366 dm3.
Hình học và đo lường
Giải Toán 7 trang 111 Tập 2
Bài 8 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho DM = DC.
a) Chứng minh rằng . Từ đó suy ra AM = BC và AM // BC.
b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho EN = EB. Chứng minh rằng AN // BC.
c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.
Lời giải:
a) Do D là trung điểm của AB nên AD = BD.
Xét ∆ADM và ∆BDC có:
AD = BD (chứng minh trên).
ADM^=BDC^ (2 góc đối đỉnh).
DM = DC (theo giả thiết).
Suy ra ∆ADM = ∆BDC (c - g - c).
Do đó AM = BC (2 cạnh tương ứng) và DAM^=DBC^ (2 góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM // BC.
b) Do E là trung điểm của AC nên AE = CE.
Xét ∆AEN và ∆CEB có:
AE = CE (chứng minh trên).
AEN^=CEB^ (2 góc đối đỉnh).
EN = EB (theo giả thiết).
Suy ra ∆AEN = ∆CEB (c - g - c).
Do đó AN = BC (2 cạnh tương ứng) và EAN^=ECB^ (2 góc tương ứng).
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN // BC.
c) Ta có AM // BC, AN // BC mà AM cắt AN tại A nên M, A, N thẳng hàng và A nằm giữa M và N.
Lại có AM = AN nên A là trung điểm của MN.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 9 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác cân ABC tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH ⊥ BC.
b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng ∆ABM = ∆ACN.
c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho BI ⊥ AM; CK ⊥ AN. Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK // MN.
Lời giải:
a) Do H là trung điểm của BC nên BH = CH.
Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và ABC^=ACB^.
Xét ∆ABH và ∆ACH có:
AB = AC (chứng minh trên).
BH chung.
BH = CH (chứng minh trên).
Suy ra ∆ABH = ∆ACH (c - c - c).
Do đó AHB^=AHC^ (2 góc tương ứng).
Mà AHB^+AHC^=180° nên AHB^=AHC^=90°.
Do đó AH ⊥ BC.
b) Ta có ABM^ là góc ngoài tại đỉnh B của nên ABM^=BAC^+ACB^.
ACN^ là góc ngoài tại đỉnh C của ∆ABC nên ACN^=BAC^+ABC^.
Mà ABC^=ACB^ nên ABM^=ACN^.
Xét ∆ABM và ∆ACN có:
AB = AC (chứng minh trên).
ABM^=ACN^ (chứng minh trên).
BM = CN (theo giả thiết).
Suy ra ∆ABM = ∆ACN (c - g - c).
c) Do ∆ABM = ∆ACN (c - g - c) nên BAM^=CAN^ (2 góc tương ứng).
Xét ∆BAI vuông tại I và ∆CAK vuông tại A:
BAI^=CAK^ (chứng minh trên).
AB = AC (chứng minh trên).
Suy ra ∆BAI = ∆CAK (cạnh huyền - góc nhọn).
Do đó AI = AK (2 cạnh tương ứng).
∆AIK có AI = AK nên ∆AIK cân tại A.
∆ABM = ∆ACN nên AM = AN (2 cạnh tương ứng).
∆ABM có AM = AN nên ∆AMN cân tại A.
∆AMN cân tại A nên .
Xét ∆AMN có: AMN^+ANM^+MAN^=180°.
Suy ra 2AMN^+MAN^=180° do đó AMN^=180°−MAN^2 (1).
∆AIK cân tại A nên AIK^=AKI^.
Xét ∆AIK có: AIK^+AKI^+IAK^=180°.
Suy ra 2AIK^+IAK^=180° do đó AIK^=180°−IAK^2 (2).
Từ (1) và (2) suy ra AIK^=AMN^.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // MN.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 10 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi D là điểm thuộc cạnh BC sao cho BD = BA và H là trung điểm của AD. Tia BH cắt AC tại E. Tia DE cắt tia BA tại M. Chứng minh rằng:
a) ∆ABH = ∆DBH.
b) Tam giác AED cân.
c) EM > ED.
d) Giả sử ABC^ = 60o. Chứng minh rằng tam giác BCM là tam giác đều và CE = 2EA.
Lời giải:
a) Do H là trung điểm của AD nên AH = DH.
Xét ∆ABH và ∆DBH có:
AB = DB (theo giả thiết).
BH chung.
AH = DH (chứng minh trên).
Suy ra ∆ABH = ∆DBH (c - c - c).
b) Do ∆ABH = ∆DBH (c - c - c) nên ABH^=DBH^ (2 góc tương ứng).
Xét ∆ABE và ∆DBE có:
AB = DB (theo giả thiết).
ABE^=DBE^ (chứng minh trên).
BE chung.
Suy ra ∆ABE = ∆DBE (c - g - c).
Do đó AE = DE (2 cạnh tương ứng).
có AE = DE nên ∆AED cân tại E.
c) Xét ∆AME vuông tại A có EM là cạnh huyền nên EM là cạnh lớn nhất trong tam giác.
Do đó EM > EA.
Mà EA = ED nên EM > ED.
d) Do ∆AME = ∆DBE (c - g - c) nên BAE^=BDE^=90°.
Do đó ED ⊥ BC hay MD ⊥ BC.
Xét ∆BCM có CA ⊥ BM, MD ⊥ BC.
Mà CA cắt MD tại E nên E là trực tâm của .
Khi đó BE ⊥ MC.
Ta có ABE^=DBE^ nên BE là tia phân giác của MBC^.
∆BCM có BE vừa là đường cao, vừa là tia phân giác nên ∆BCM cân tại B.
Khi đó nếu ABC^ = 60o thì cân tại B có MBC^ = 60o nên là tam giác đều.
Khi đó E vừa là trực tâm, vừa là trọng tâm của ∆BCM.
Do đó CE = 2EA.
Thống kê và xác suất
Bài 11 trang 111 Toán lớp 7 Tập 2: Bình thu thập số liệu về số học sinh phổ thông của cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 và vẽ được biểu đồ sau:
a) Số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 có xu thế tăng hay giảm?
b) Hãy lập bảng thống kê về số lượng học sinh phổ thông của cả nước từ năm 2015 đến năm 2020.
c) Theo em, Bình đã dùng cách nào trong các cách thu thập dữ liệu đã học để có được số liệu trên?
Lời giải:
a) Số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020 có xu thế tăng.
b) Bảng thống kê số học sinh phổ thông cả nước từ năm 2015 đến năm 2020:
Năm
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Số lượng (nghìn học sinh)
15 354
15 514
15 923
16 558
17 042
17 551
c) Bình đã sử dụng phương pháp thu thập số liệu từ nguồn internet.
Giải Toán 7 trang 112 Tập 2
Bài 12 trang 112 Toán lớp 7 Tập 2: Biểu đồ nào sau đây cho biết tổng số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong các năm từ 2015 đến 2019:
a) Lập bảng thống kê về số huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam đạt được từ năm 2015 đến năm 2019.
b) Trong các năm trên, năm nào thể thao Việt Nam giành được ít huy chương thế giới nhất?
c) Tỉ lệ các loại huy chương thế giới của thể thao Việt Nam trong năm 2019 được cho trong biểu đồ sau:
Tính số lượng mỗi loại huy chương thế giới mà thể thao Việt Nam giành được trong năm 2019.
Lời giải:
a) Bảng thống kê về số huy chương thế giới thể thao Việt Nam đạt được từ năm 2015 đến năm 2019:
Năm
2015
2016
2017
2018
2019
Số lượng
211
122
165
116
238
b) Năm 2018 là năm thể thao Việt Nam giành được ít huy chương thế giới nhất.
c) Số huy chương vàng đạt được trong năm 2019 là: 238 . 47,48% = 113,0024 ≈ 113 (chiếc).
Số huy chương bạc đạt được trong năm 2019 là: 238 . 27,31% = 64,9978 ≈ 65 (chiếc).
Số huy chương đồng đạt được trong năm 2019 là: 238 - 113 - 65 = 60 (chiếc).
Giải Toán 7 trang 113 Tập 2
Bài 13 trang 113 Toán lớp 7 Tập 2: Trong trò chơi Vòng quay may mắn, người chơi sẽ quay một bánh xe hình tròn. Bánh xe được chia làm 12 hình quạt bằng nhau như hình bên. Trong mỗi hình quạt có ghi số điểm mà người chơi sẽ nhận được. Có hai hình quạt ghi 100 điểm; hai hình quạt ghi 200 điểm; hai hình quạt ghi 300 điểm; hai hình quạt ghi 400 điểm; một hình quạt ghi 500 điểm; hai hình quạt ghi 1 000 điểm và một hình quạt ghi 2 000 điểm. Khi bánh xe dừng lại, mũi tên (đặt cố định ở phía trên) chỉ vào hình quạt nào thì người chơi nhận được số điểm ghi trong hình quạt đó.
Bạn Mai tham gia trò chơi và quay một lần. Tính xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt:
a) Có số điểm nhỏ hơn 2 000.
b) Có số điểm nhỏ hơn 100.
c) Có số điểm lớn hơn 300.
d) Có số điểm là 2 000.
Lời giải:
a) Có 1 hình quạt trong 12 hình quạt có số điểm 2 000 nên có 11 hình quạt có số điểm nhỏ hơn 2 000.
Do đó xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm nhỏ hơn 2 000 là: 1112.
b) Không có hình quạt nào có số điểm nhỏ hơn 100 nên xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm nhỏ hơn 100 là 0.
c) Có 6 hình quạt trong 12 hình quạt có số điểm lớn hơn 300 nên xác xuất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm lớn hơn 300 là 612=12.
d) Có 1 hình quạt trong 12 hình quạt có số điểm 2 000 nên xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt có số điểm bằng 2 000 là: 112.
