Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12

1. Hệ tọa độ trong không gian

- Trong không gian, cho ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc. Gọi $large overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}$ lần lượt là ba vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy và Oz. Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz trong không gian hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

- Nhận xét:

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ. Các trục Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ. Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ. Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

+ Vì $large overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}$ là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau nên ta có: $large overrightarrow{i}^{2}=overrightarrow{j}^{2}=overrightarrow{k}^{2}$ và $large overrightarrow{i}.overrightarrow{j}=overrightarrow{j}.overrightarrow{k}=overrightarrow{k}.overrightarrow{i}=0$.

2. Tọa độ của điểm và vectơ

2.1 Tọa độ của điểm

- Trong không gian Oxyz, cho điểm M. Nếu $largeoverrightarrow{OM}=xoverrightarrow{i}+yoverrightarrow{j}+zoverrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (x;y;z) là tọa độ của điểm M đối với hệ trục tọa độ Oxyz và viết M = (x;y;z) hoặc M(x;y;z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ, z là cao độ của điểm M.

2.2 Tọa độ của vectơ

- Trong không gian Oxyz cho vectơ $largeoverrightarrow{a}$. Nếu $largeoverrightarrow{a}=a_{1}overrightarrow{i}+a_{2}overrightarrow{j}+a_{3}overrightarrow{k}$ thì ta gọi bộ ba số (a1;a2;a3) là tọa độ của vectơ $largeoverrightarrow{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz và viết $largeoverrightarrow{a}=(a_{1};a_{2};a_{3})$ hoặc $largeoverrightarrow{a}(a_{1};a_{2};a_{3})$

- Nhận xét: Trong không gian Oxyz, ta có:

+ Tọa độ của điểm M là tọa độ của vectơ $largeoverrightarrow{OM}$, tức là

$large M=(x;y;z)Leftrightarrow overrightarrow{OM}=(x;y;z)$

+ Điều kiện để hai vectơ bằng nhau: Cho $large overrightarrow{a}=(x;y;z),overrightarrow{b}=(x';y';z')$. Khi đó:

$large overrightarrow{a}=overrightarrow{b}Leftrightarrow left{begin{matrix} x=x' y=y' z=z' end{matrix}right.$

Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT Quốc gia sớm và phù hợp nhất với bản thân

3. Bài tập tọa độ của vectơ toán 12

3.1 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 kết nối tri thức

Bài 2.13 trang 64 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Đáp án: Cả 4 đáp án trên đều đúng

Bài 2.14 trang 64 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Hình vẽ phù hợp là:

Bài 2.15 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

$large a)overrightarrow{AB}=(4;2;-5)$

$large b)overrightarrow{AB}=(0;0;0)$

$large c)overrightarrow{AB}=(-10;3;-7)$

Bài 2.16 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

a) A(0; 0; 0).

b) A nằm trên tia Ox và OA = 2 nên $large overrightarrow{OA}=2overrightarrow{i}$ . Suy ra A(2; 0; 0).

c) A nằm trên tia đối của tia Oy và OA = 3 nên $large overrightarrow{OA}=-3overrightarrow{j}$ . Suy ra A(0; −3; 0).

Bài 2.17 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Đỉnh A trùng với gốc tọa độ nên A(0; 0; 0).

Ta có D(2; 0; 0) nên $large overrightarrow{OD}=2overrightarrow{i}$ ; B(0; 4; 0) nên $large overrightarrow{OB}=4overrightarrow{j}$ ; A'(0; 0; 3) nên $large overrightarrow{OA'}=3overrightarrow{k}$

Theo quy tắc hình hộp, ta có: $large overrightarrow{OC'}=overrightarrow{OD}+overrightarrow{OB}+overrightarrow{OA'}=2overrightarrow{i}+4overrightarrow{j}+3overrightarrow{k}$

Do đó C'(2; 4; 3).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $large overrightarrow{OD'}=overrightarrow{OD}+overrightarrow{OA'}=2overrightarrow{i}+3overrightarrow{k}$

Do đó D'(2; 0; 3).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $large overrightarrow{OB'}=overrightarrow{OB}+overrightarrow{OA'}=4overrightarrow{j}+3overrightarrow{k}$

Do đó B'(0; 4; 3).

Bài 2.18 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Bài 2.19 trang 65 sgk toán 12/1 kết nối tri thức

Khi máy bay di chuyển trên đường băng tức là máy bay di chuyển ở trên mặt đất,tức là thuộc mặt phẳng (Oxy). Do đó máy bay khi di chuyển trên đường băng thì tọa độ của nó luôn có dạng (x; y; 0) với x, y là hai số thực nào đó.

>> Xem thêm: Tổng hợp kiến thức toán 12 chương trình mới đầy đủ, chi tiết

3.2 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

$large a) overrightarrow{a}=(5;7;-3),overrightarrow{b}=(2;0;4)$

$large b) M=(4;-1;3),N=(8;-5;0)$

Bài 2 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

$large a)overrightarrow{a}=-2overrightarrow{i}+5overrightarrow{j}-7overrightarrow{k},overrightarrow{b}=4overrightarrow{i}+overrightarrow{k}$

$large b) A(7;-2;1)Rightarrow overrightarrow{OA}=7overrightarrow{i}-2overrightarrow{j}+overrightarrow{k},B(0;5;0)Rightarrow overrightarrow{OB}=5overrightarrow{j}$

Bài 3 trang 56 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

a)

Các vectơ đơn vị trên ba trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $large overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}$ với độ dài của $large overrightarrow{i},overrightarrow{j},overrightarrow{k}$ lần lượt bằng 1/3 BC; 1/2 BA; 1/2 SA.

b) Vì B trùng với gốc tọa độ nên B(0; 0; 0).

Vì $large overrightarrow{j}$ và $large overrightarrow{BA}$ cùng hướng và BA = 2 nên $large overrightarrow{BA}=2overrightarrow{j}$. Suy ra A(0; 2; 0).

Vì $large overrightarrow{i}$và $large overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BC = 3 nên $large overrightarrow{BC}=3overrightarrow{i}$. Suy ra C(3; 0; 0).

Gọi E là hình chiếu của S lên trục Oz.

Ta có BE = AS = 2.

Vì $large overrightarrow{k}$ và $large overrightarrow{BE}$ cùng hướng và BE = 2 nên $large overrightarrow{BE}=2overrightarrow{k}$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$large overrightarrow{BS}=overrightarrow{BA}+overrightarrow{BE}=2overrightarrow{j}+2overrightarrow{k}$ => S(0;2;2).

Bài 4 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz lần lượt là $large overrightarrow{i}=overrightarrow{OC},overrightarrow{j}=overrightarrow{OE},overrightarrow{k}=overrightarrow{OH}$ với E là điểm thuộc tia Oy sao cho OE = 1 và H là điểm thuộc tia Oz sao cho OH = 1.

Vì ∆ABC đều và AO ⊥ BC nên O là trung điểm của BC.

Mà BC = 2 nên OB = OC = 1 và OA = $large sqrt{3}$.

Vì $large overrightarrow{OB}$ và $large overrightarrow{i}$ ngược hướng và OB = 1 nên $large overrightarrow{OB}=-overrightarrow{i}$ => B(−1; 0; 0).

Vì $large overrightarrow{OC}$ và $large overrightarrow{i}$ cùng hướng và OC = 1 nên $large overrightarrow{OC}=overrightarrow{i}$ => C(1; 0; 0).

Vì $large overrightarrow{OA}$ và $large overrightarrow{j}$ cùng hướng và OA= $large sqrt{3}$ nên $large overrightarrow{OA}= sqrt{3} overrightarrow{j}$. => A(0;$large sqrt{3}$;0).

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $large overrightarrow{OS}=overrightarrow{OA}+overrightarrow{OH}=sqrt{3}overrightarrow{j}+overrightarrow{k}$ => S(0;$large sqrt{3}$;1).

Bài 5 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Vì ABCD là hình thoi cạnh bằng 5, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC và BD.

Xét ∆OAB vuông tại O, có $large OB=sqrt{AB^{2}-OA^{2}}=sqrt{25-16}=3$

Bài 6 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Vì $large overrightarrow{OA}$ và $large overrightarrow{k}$ cùng hướng và OA = 10 nên $large overrightarrow{OA}=10overrightarrow{k}$.

Xét ∆OBH vuông tại H, có BH = OB.sin30° = 7,5 m.

$large OH=OBcos30^{o}=frac{15sqrt{3}}{2}m$

Vì $large overrightarrow{OH}$ và $large overrightarrow{j}$ cùng hướng và $large OH=frac{15sqrt{3}}{2}$ nên $large overrightarrow{OH}=frac{15sqrt{3}}{2}overrightarrow{j}$

Có BH = OK = 7,5.

Bài 7 trang 57 sgk toán 12/1 chân trời sáng tạo

Giả sử M(x; y; z).

H ∈ (Oxy) ⇒ H(x; y; 0).

Vì OBHA là hình bình hành nên BH = OA.

Vì OCMH là hình bình hành nên OC = MH.

Xét ∆MHO vuông tại H, có OH = OM.cos48° = 50. cos48° ≈ 33,46.

MH = OM.sin48° = 50. sin48° ≈ 37,16.

Xét ∆OAH vuông tại A, có BH = OA = OH.cos64° = 33,46. cos64° ≈ 14,67.

Xét ∆OBH vuông tại B, có: $large OB=sqrt{OH^{2}-BH^{2}}=sqrt{33,46^{2}-14,46^{2}}approx 30,07$

Vì $large overrightarrow{OA}$ và $large overrightarrow{i}$ cùng hướng và OA = 14,67 nên $large overrightarrow{OA}=14,67 overrightarrow{i}$ .

Vì $large overrightarrow{OB}$ và $large overrightarrow{j}$ cùng hướng và OB = 30,07 nên $large overrightarrow{OB}=30,07 overrightarrow{j}$ .

Vì $large overrightarrow{OC}$ và $large overrightarrow{k}$ cùng hướng và OC = 37,16 nên $large overrightarrow{OC}=37,16 overrightarrow{k}$ .

Áp dụng quy tắc hình bình hành, ta có:

Vậy M(14,67; 30,07; 27,16).

3.3 Bài tập tọa độ của vectơ toán 12 cánh diều

Bài 1 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: A

Ta có A(1; 2; 3). Do đó, $large overrightarrow{OA}=(1;2;3)$

Bài 2 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: B

Vì $large overrightarrow{OA}=overrightarrow{u}$ mà $large overrightarrow{u}=(-1;4;2)$, do đó $large overrightarrow{OA}=(-1;4;2)$

Từ đó suy ra A(- 1; 4; 2).

Bài 3 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: A

Ta có: $large overrightarrow{u}=-2overrightarrow{i}-overrightarrow{j}+3overrightarrow{k}=(-2)overrightarrow{i}+(-1)overrightarrow{j}+3overrightarrow{k}$

Do đó: $large overrightarrow{u}=(-2;-1;3)$

Bài 4 trang 72 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: B

Với A(1; - 1; 2) và B(4; - 3; 1), ta có

$large overrightarrow{AB}$ = (4 - 1; - 3 - (- 1); 1 - 2) = (3; - 2; - 1).

Bài 5 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Đáp án đúng là: C

Gọi tọa độ điểm C là (xC; yC; zC), ta có $large overrightarrow{AC}$ = (xC - 1; yC - 1; zC - 1).

Với $large overrightarrow{u}=(4;2;3)$ thì ta có $large overrightarrow{AC}= overrightarrow{u}$

$large Rightarrow left{begin{matrix} x_{c}-1=4 y_{c}-1=2 z_{c}-1=3 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x_{c}=5 y_{c}=3 z_{c}=4 end{matrix}right.$

Vậy C(5; 3; 4).

Bài 6 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) và A3(x3; y3; z3).

Với A(3; - 2; - 1), đặt xA = 3, yA = - 2, zA = - 1. Ta có:

+ x1 = xA = 3; y1 = yA = - 2; z1 = 0 (vì A­1 nằm trên mặt phẳng (Oxy)).

Do đó A1(3; - 2; 0).

+ y2 = yA = - 2; z2 = zA = - 1; x2 = 0 (vì A2 nằm trên mặt phẳng (Oyz)).

Do đó A2(0; - 2; - 1).

+ x3 = xA = 3; z3 = zA = - 1; y3 = 0 (vì A3 nằm trên mặt phẳng (Ozx)).

Do đó A3(3; 0; - 1).

Bài 7 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi H(x1; y1; z1), K(x2; y2; z2) và P(x3; y3; z3).

Với A(- 2; 3; 4), đặt xA = - 2, yA = 3, zA = 4. Ta có:

+ x1 = xA = - 2; y1 = 0; z1 = 0 (vì H nằm trên trục Ox). Do đó H(- 2; 0; 0).

+ y2 = yA = 3; x2 = 0; z2 = 0 (vì K nằm trên trục Oy). Do đó K(0; 3; 0).

+ z3 = zA = 4; x3 = 0; y3 = 0 (vì P nằm trên trục Oz). Do đó P(0; 0; 4).

Bài 8 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Ta có $large overrightarrow{AB}=(5-4;7-6;-4-(-5))=(1;1;1)$.

Gọi tọa độ của điểm D là (xD; yD; zD), ta có $large overrightarrow{AB}$ = (5 - xD; 6 - yD; - 4 - zD).

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành.

Do đó $large overrightarrow{AB}=overrightarrow{DC}$

$large Rightarrow left{begin{matrix} 1=5-x_{D} 1=6-y_{D} 1=-4-z_{D} end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x_{D}=4 y_{D}=5 z_{D}=-5 end{matrix}right.$

Khi đó, D(4; 5; - 5).

Ta có $large overrightarrow{DD'}$ = (2 - 4; 0 - 5; 2 - (- 5)) = (- 2; - 5; 7).

Gọi tọa độ của điểm A' là (xA'; yA'; zA'), ta có $large overrightarrow{AA'}$ = (xA' - 4; yA' - 6; zA' - (- 5)).

Suy ra C'(3; 1; 3).

Vậy D(4; 5; - 5), A'(2; 1; 2), B'(3; 2; 3), C'(3; 1; 3).

Bài 9 trang 73 sgk toán 12/1 cánh diều

Gọi M1, N1, P1, K lần lượt là hình chiếu của M, N, P, K0 lên mặt phẳng (Oxy).

Ta thấy MNPQ.M1N1P1O là hình hộp chữ nhật.

Gọi K' là giao hai đường chéo MP và NQ. Khi đó K'Q = K'P = K'N = K'M.

Vì K0M = K0N = K0P = K0Q và camera được hạ thấp theo phương thẳng đứng từ điểm K0 xuống điểm K1 nên các điểm K', K0, K1, K thẳng hàng.

Khi đó, các điểm K', K0, K1, K có hoành độ và tung độ bằng nhau.

Theo bài ra, cao độ của K0 và K1 lần lượt là 25 và 19.

Giả sử K0(x; y; 25) và K1(x; y; 19).

Ta có MNPQ.M1N1P1O là hình hộp chữ nhật nên K'K = OQ, suy ra cao độ của K' bằng 30. Do đó, K' (x; y; 30).

Ta có: $large overrightarrow{K'Q}=(-x;-y;0),overrightarrow{NK'}=(x-90;y-120;0)$

Vì K' là giao hai đường chéo của hình chữ nhật MMPQ nên K' là trung điểm của NQ.

$large Rightarrow overrightarrow{K'Q}=overrightarrow{NK'}Rightarrow left{begin{matrix} -x=x-90 -y=y-120 0=0 end{matrix}right.Leftrightarrow left{begin{matrix} x=45 y=60 end{matrix}right.$

Do vậy, K0(45; 60; 25), K1(45; 60; 19) và $large overrightarrow{K_{o}K_{1}}=(0;0;-6)$

Trên đây là Lý thuyết tọa độ của vectơ trong không gian toán 12. Qua bài học, các em nắm được cách xác định tọa độ của vectơ để áp dụng giải các bài tập liên quan. Các bạn hãy truy cập nền tảng Vuihoc.vn để ôn tập kiến thức Toán 12 và đăng ký những khóa học bổ ích, hấp dẫn nhất nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm: Lý thuyết vectơ trong không gian toán 12