Đạo hàm cấp hai là gì? Bài tập đạo hàm cấp hai

1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai

1.1 Định nghĩa

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm x (a;b). Khi đó hệ thức y' = f'(x) xác định một hàm số mới trên khoảng (a;b). Nếu hàm số y' = f'(x) lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x.

- Ký hiệu đạo hàm cấp hai: y'' hoặc f''(x)

- Mở rộng: Đạo hàm cấp 3 của hàm số y = f(x) cũng có định nghĩa tương tự và ký hiệu là y''' ; f'''(x) hoặc f(3)(x). Khi đó đạo hàm cấp n của f(x) là f(n)(x) = (f(n-1)(x))'

- Đặc biệt: f(0)(x) = f(x)

1.2 Đạo hàm cấp cao của một số hàm số

Nếu thì

Nếu n > m thì

Đăng ký ngay khóa học DUO 11 để được các thầy cô tư vấn và xây dựng lộ trình ôn thi THPT môn Toán sớm ngay từ bây giờ bạn nhé!

2. Ý nghĩa của đạo hàm cấp hai

- Đạo hàm cấp 2 f''(t) là gia tốc tức thời của chuyển động s = f(t) tại thời điểm t

- Ví dụ: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = 2t3 - t2 + 5t . Tính gia tốc của chuyển động trong đó thời gian tính bằng giây và quãng đường tính bằng mét.

Gia tốc của chuyển động là a = S'' = (2t3 - t2 + 5t)'' = (6t2 - 2t + 5)' = 12t - 2 (m/s2)

3. Bài tập vận dụng đạo hàm cấp hai

a. Cho f(x) = (x + 5)3. Tính f''(5)

Ta có: f''(x) = ((x + 5)3)'' = 6x + 30 => f''(5) = 6.5 +30 = 60

b. Cho hàm số y = sinx. Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số đó

Ta có y'' = (sinx)'' = (cosx)' = -sinx

c. Tính gia tốc tức thời của chuyển động có phương trình S(t) = 7t5 - 3t + 2

a = S''(t) = (7t5 - 3t + 2)'' = (35t4 -3)' = 140t3

d. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = tanx

y' = (tanx)' = 1/cos2x => y'' = 2sinx/cos3x

e. Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số y = cos2x

y' = (cos2x)' = -sin2x => y'' = -2cos2x

Hy vọng qua bài viết trên các em đã biết được cách tính đạo hàm cấp hai của hàm số và có thể mở rộng để tính toán đạo hàm cấp cap hơn. Đạo hàm là phần kiến thức quan trọng sẽ xuất hiện trong đề thi tốt nghiệp THPT. Chính vì vậy các em cần chú ý nắm chắc kiến thức đạo hàm cũng như đạo hàm cấp hai trong chương trình toán 11. Truy cập trang web vuihoc.vn để cập nhật thêm nhiều kiến thức toán học hữu ích nhé!

>> Mời bạn tham khảo thêm:

• Lý thuyết về vi phân - Toán 11
• Quy tắc tính đạo hàm và bài tập vận dụng