Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản - SGK Toán 11 Chân trời sáng tạo

1. Phương trình tương đương

- Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

- Nếu phương trình f(x) =0 tương đương với phương trình g(x) =0 thì ta viết (f(x) = 0 Leftrightarrow g(x) = 0)

- Các phép biến đổi tương đương:

+ Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức.

+ Nhân hoặc chia 2 vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.

2. Phương trình ({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = m)

Phương trình sinx = m ,

• Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình có nghiệm:

Khi đó, tồn tại duy nhất (alpha in left[ { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right]) thoả mãn (sin alpha = m),

({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} = m Leftrightarrow sin x = sin alpha ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi x = pi - alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc (alpha )được cho bằng đơn vị độ thì (sin x = sin {alpha ^o} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {alpha ^o} + k{360^o}x = {180^o} - {alpha ^o} + k{360^o}end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

b, Một số trường hợp đặc biệt

(begin{array}{l}sin x = 0 Leftrightarrow x = kpi ,k in mathbb{Z}.sin x = 1 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + k2pi ,k in mathbb{Z}.sin x = - 1 Leftrightarrow x = - frac{pi }{2} + k2pi ,k in mathbb{Z}.end{array})

3. Phương trình ({rm{cosx}} = m)

Phương trình ({rm{cosx}} = m),

• Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu (left| m right| le 1) thì phương trình có nghiệm:

Khi (left| m right| le 1)sẽ tồn tại duy nhất (alpha in left[ {0;pi } right]) thoả mãn ({rm{cos}}alpha = m). Khi đó:

({rm{cosx}} = m Leftrightarrow {rm{cosx}} = {rm{cos}}alpha ) ( Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = alpha + k2pi x = - alpha + k2pi end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

* Chú ý:

a, Nếu số đo của góc (alpha )được cho bằng đơn vị độ thì (cos x = cos {alpha ^o} Leftrightarrow left[ begin{array}{l}x = {alpha ^o} + k{360^o}x = - {alpha ^o} + k{360^o}end{array} right.left( {k in mathbb{Z}} right))

b, Một số trường hợp đặc biệt

(begin{array}{l}{rm{cos}}x = 0 Leftrightarrow x = frac{pi }{2} + kpi ,k in mathbb{Z}.{rm{cos}}x = 1 Leftrightarrow x = k2pi ,k in mathbb{Z}.{rm{cos}}x = - 1 Leftrightarrow x = pi + k2pi ,k in mathbb{Z}.end{array})

4. Phương trình (tan x = m)

Phương trình (tan x = m) có nghiệm với mọi m.

Với mọi (m in mathbb{R}), tồn tại duy nhất (alpha in left( { - frac{pi }{2};frac{pi }{2}} right)) thoả mãn (tan alpha = m). Khi đó:

(tan {rm{x}} = m Leftrightarrow tan x = tan alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}.)

*Chú ý: Nếu số đo của góc (alpha )được cho bằng đơn vị độ thì

(tan x = tan {alpha ^o} Leftrightarrow x = {alpha ^o} + k{180^o},k in mathbb{Z}.)

5. Phương trình (cot x = m)

Phương trình (cot x = m) có nghiệm với mọi m.

Với mọi (m in mathbb{R}), tồn tại duy nhất (alpha in left( {0;pi } right)) thoả mãn (cot alpha = m). Khi đó:

(cot {rm{x}} = m Leftrightarrow cot x = cot alpha Leftrightarrow x = alpha + kpi ,k in mathbb{Z}.)

*Chú ý: Nếu số đo của góc (alpha )được cho bằng đơn vị độ thì

(cot x = cot {alpha ^o} Leftrightarrow x = {alpha ^o} + k{180^o},k in mathbb{Z}.)

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc radian).

Muốn tìm số đo độ, ta ấn: SHIFT ( to )MODE ( to )3 (CASIO FX570VN).

Muốn tìm số đo radian, ta ấn: SHIFT ( to )MODE ( to )4 (CASIO FX570VN).

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết SIN, COS, TANG của góc (alpha )ta cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím SHIFT và một trong các phím SIN, COS, TANG rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím “BẰNG =”. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc (alpha ).